Matematyka 110490-D
Ćwiczenia (CW) Semestr zimowy 2021/22

Ciągi liczbowe. Monotoniczność i ograniczoność ciągu. Pojęcie granicy ciągu. Przykłady ciągów zbieżnych i rozbieżnych, ciągi rozbieżne do nieskończoności.

Algebraiczne własności granicy ciągu. Twierdzenie o trzech ciągach i o zbieżności ciągu monotonicznego i ograniczonego, liczba Eulera.

Wyrażenia nieoznaczone.

Ogólne własności funkcji - funkcja różnowartościowa, funkcja "na", bijekcja. Składanie i odwracanie funkcji, obrazy i przeciwobrazy. Granica i ciągłość funkcji.

Asymptoty poziome, pionowe i ukośne wykresu funkcji.

Pierwsza pochodna funkcji i jej zastosowania: monotoniczność funkcji, elastyczność funkcji. Styczna do wykresu funkcji, linearyzacja funkcji.

Reguła de l'Hospitala. Ekstrema lokalne, wartość największa i najmniejsza funkcji na przedziale domkniętym.

Druga pochodna funkcji i jej zastosowania: wklęsłość i wypukłość funkcji, tempo zmian wartości funkcji. Badanie przebiegu zmienności funkcji.

Funkcje dwóch zmiennych - dziedzina, warsrtwice. Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, elastyczności cząstkowe funkcji.

Pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych

z jednym warunkiem ograniczającym.

Całka nieoznaczona - definicja funkcji pierwotnej. Reguły całkowania - całka sumy funkcji, całkowanie przez części i przez podstawienie. Przykłady całek.

Całka oznaczona - definicja i własności. Interpretacja gemetryczna całki oznaczonej - pola powierzchni figur ograniczonych wykresami funkcji całkowalnych.

Całka niewłaściwa.

Przestrzeń R^n. Równanie parametryczne prostej w R2, równanie parametryczne prostej i równanie płaszczyzny w R3. Hiperpłaszczyzna w R^n.

Kombinacja liniowa wektorów, liniowa niezależność wektorów.

Macierz - definicja i własności, interpretacja jako przekształcenie liniowe. Działania na macierzach i ich związek z działaniami na przekształceniach liniowych.

Rząd macierzy, macierz nieosobliwa, macierz odwrotna.

Wyznacznik macierzy kwadratowej - definicja, własności. Dopełnienia algebraiczne wyrazów macierzy. Wyznaczanie macierzy odwrotnej

(przeksztalcenia odwrotnego) za pomocą dopełnień algebraicznych. Związek wyznacznika z rzędem macierzy.

Operacje elementarne na wierszach macierzy - macierze równoważne. Obliczanie macierzy odwrotnej (przeksztalcenia odwrotnego) za pomocą operacji

elementarnych. Układy równań liniowych - układ jednorodny, niejednorodny, macierz rozszerzona układu. Twierdzenie Kroneckera-Capellego, układ zgodny i sprzeczny.

Rozwiązywanie układów równań za pomocą operacji elementarnych na wierszach macierzy rozszerzonej układu. Rozwiązanie ogólne,

rozwiązanie szczególne, rozwiązania bazowe. Interpretacja geometryczna układów równań i ich rozwiązań w R^3. Układ Cramera i wzory Cramera.

Uzupełnienie materiału, repetytorium przed egzaminem.

Opcjonalnie - funkcje n zmiennych. Pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu, macierz Hessego. Gradient, hiperpłaszczyzna styczna, lineatyzacja.

Warunki konieczny i dostateczny istnienia ekstremum lokalnego.