Analiza matematyczna 121010-D
Wykład (WYK) Semestr letni 2025/26

Przestrzeń metryczna: definicja, podstawowe własności. Ciągi liczbowe, granica w przestrzeniach metrycznych. Granica dolna i górna.

Szeregi liczbowe: podstawowe kryteria zbieżności.

Całka Riemanna. Aproksymacja wartości szeregu. Zależności między szeregiem a całką Riemanna.

Zastosowania rachunku różniczkowego - ekstrema, kresy zbiorów. Metryka supremum.

Ciągi i szeregi funkcyjne. Zbieżność punktowa i jednostajna.

Szeregi potęgowe. Szeregi Taylora. Aproksymacja wartości funkcji przy pomocy wzoru Taylora.

Relacje: definicja, własności i zastosowania.

Odwzorowania: granica i ciągłość. Własności odwzorowań ciągłych. Różniczkowalność. Pochodne cząstkowe i kierunkowe.

Pochodna złożenia odwzorowań. Odwracalność odwzorowań, lokalna i globalna. Jakobian.

Twierdzenie o odwzorowaniu uwikłanym. Ekstrema funkcji uwikłanych.

Pochodne wyższych rzędów odwzorowania. Funkcje wielu zmiennych. Ekstrema lokalne, wyznaczanie za pomocą poziomic oraz macierzy drugiej pochodnej.

Ekstrema globalne funkcji wielu zmiennych. Metody szukania ekstremów, gdy macierz drugiej pochodnej nie rozstrzyga o istnieniu ekstremum. Ekstrema warunkowe i optymalizacja: metoda Lagrange?a dla wielu zmiennych i/lub kilku warunków.

Elementy teorii miary: algebra i sigma-algebra zbiorów, miara zewnętrzna i miara zbioru, miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne.

Wielowymiarowa całka Riemanna oraz całka Lebesgue'a względem miary Lebesgue'a. Własności całki.

Całki wielokrotne, Twr. Fubiniego, całki iterowane, całkowanie po zbiorach normalnych. Całkowanie przez podstawienie. Podstawienie biegunowe.