Metody matematyczne ekonomii 121610-P
Ćwiczenia (CW) Semestr letni 2024/25

Liczby zespolone. Moduł, sprzężenie i interpretacja geometryczna liczby zespolonej. Postać trygonometryczna, wykładnicza liczby zespolonej. Działania na liczbach zespolonych.

Przestrzeń liniowa , podprzestrzeń liniowa. Hiperpłaszczyzna. Baza, wymiar, baza uporządkowana.

Przekształcenie liniowe i jego macierz w bazach uporządkowanych. Jądro i rząd przekształcenia.

Wielomian charakterystyczny. Wektory i wartości własne. Postać Jordana macierzy oraz algorytm znajdowania bazy, w której macierz ma postać Jordana.

Wprowadzenie do równań różnicowych: równanie różnicowe pierwszego rzędu o afinicznej prawej stronie ze zmiennymi współczynnikami. Zastosowania ekonomiczne, np. elementy matematyki finansowej (wartość bieżąca ciągu przepływów finansowych przy stałej lub zmiennej stopie oprocentowania), dostosowanie się ceny przy afinicznych funkcjach popytu i podaży, inne wybrane przez prowadzącego zastosowania w modelowaniu ekonomicznym.

Równania różnicowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach jednorodne i niejednorodne dla wybranych klas funkcji (metoda nieoznaczonych współczynników). Zastosowania ekonomiczne do wybranych prostych modeli makroekonomicznych, inne przykłady zastosowań wybrane przez prowadzącego.

Liniowe układy równań różnicowych pierwszego rzędu o stałych współczynnikach, rozwiązanie. Definicja równowagi. Definicja stabilności równowagi i związek z wartościami własnymi macierzy współczynników.

Elementy analizy jakościowej nieliniowych równań i układów równań różnicowych. Stabilność stanu ustalonego. Zastosowania ekonomiczne, np. dostosowanie ceny przy nieliniowych funkcjach popytu i podaży, duopol Cournot, inne wybrane przez prowadzącego.

Wprowadzenie do równań różniczkowych: równanie różniczkowe, rozwiązanie ogólne równania różniczkowego, warunki początkowe, rozwiązanie szczególne równania różniczkowego, twierdzenie o jednoznaczności rozwiązania, rozwiązywanie wybranych klas równań różniczkowych. Zastosowania w wybranych modelach ekonomicznych.

Równania różniczkowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach jednorodne i niejednorodne dla wybranych klas funkcji (metoda nieoznaczonych współczynników). Zastosowania ekonomiczne do wybranych prostych modeli makroekonomicznych, inne przykłady wybrane przez prowadzącego.

Liniowe układy równań różniczkowych pierwszego rzędu o stałych współczynnikach, rozwiązanie. Definicja równowagi. Definicja stabilności równowagi i związek z wartościami własnymi macierzy współczynników.

Elementy analizy jakościowej nieliniowych równań i układów równań różniczkowych. Stabilność stanu ustalonego. Zastosowania ekonomiczne, np. dostosowanie ceny przy nieliniowych funkcjach popytu i podaży i inne wybrane przez prowadzącego.

Wypukłość zbiorów, zwartość zbiorów, wypukłość funkcji, quasi-wypukłość funkcji, jednorodność funkcji: konsekwencje wprowadzenia ww. założeń dla zagadnień optymalizacyjnych i ich interpretacja ekonomiczna.

Elastyczność. Funkcja Cobba-Douglasa. Funkcja CES. Funkcja CRRA jako uogólnienie funkcji logarytmicznej. Różniczka zupełna. Obwiednia. Twierdzenie o obwiedni.

Optymalizacja statyczna z ograniczeniami mieszanymi: zastosowania ekonomiczne twierdzeń Weierstrassa, Lagrange?a oraz Karusha-Kuhna-Tuckera.