Rachunek prawdopodobieństwa i procesy stochastyczne 222580-S
Wykład (WYK) Semestr zimowy 2023/24

Funkcje charakterystyczne jednowymiarowej zmiennej losowej i ich zastosowania

Dwuwymiarowa zmienna losowa i jej rozkład. Rozkłady brzegowe dwuwymiarowej zmiennej losowej, niezależność zmiennych.

Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej, kowariancja, korelacja, macierz kowariancji.

Rozkłady funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej.

Rozkłady warunkowe, krzywa regresji.

Wielowymiarowe zmienne losowe, macierz kowariancji.

Funkcje charakterystyczne wielowymiarowej zmiennej losowej.

Definicja procesu stochastycznego (trzy interpretacje), rozkłady skończenie wymiarowe, twierdzenia: o istnieniu procesu i o rozkładach skończenie wymiarowych. Funkcje momentowe. Klasy procesów stochastycznych: procesy Markowa, procesy gaussowskie, procesy stacjonarne w węższym i szerszym sensie, procesy o przyrostach niezależnych, stacjonarnych, nieskorelowanych. Filtracje i momenty stopu.

Łańcuchy Markowa: definicja i przykłady, prawdopodobieństwa przejścia, klasyfikacja stanów i twierdzenia ergodyczne.

Proces Poissona: definicja i podstawowe własności,proces o przyrostach niezależnych,stacjonarnych,charakteryzacja infinitezymalna, mocna własność Markowa.

Procesy pochodne z procesu Poissona-złożony proces Poissona, rozrzedzony proces Poissona, proces odnowy, niejednorodny proces Poissona.

Procesy Markowa z czasem ciągłym i dyskretną przestrzenią stanów: definicja, równania Chapmana-Kołmogorowa, równania różniczkowe Kołmogorowa, przykłady.

Proces Wienera: definicja i własności, proces gaussowski, o mocnej własności Markowa. Funkcje momentowe. Własności trajektorii. Proces Orsteina-Uhlenbecka.